Reprezentacja liczb całkowitych w dowolnym systemie pozycyjnym

System pozycyjny

System pozycyjny to taki sposób reprezentowania liczby, w którym wartość liczby zależy od pozycji cyfry w ciągu cyfr.

Liczba zapisana w dowolnym systemie pozycyjnym

a_n-1 a_n-2... a₁a₀

gdzie:

n to ilość cyfr tworzących daną liczbę
a to cyfra stojąca na pozycji n-1

Rozwinięcie dowolnej liczby zapisuje się według poniższego wzoru

a_n-1⋅p^n-1+ a_n-2⋅p^n-2+...+ a₁⋅p¹+ a₀⋅p⁰

gdzie p, to podstawa systemu

Przykład rozwinięcia liczby dziesiętnej

532=5⋅100+3⋅10+2⋅1=5⋅10²+3⋅10¹+2⋅10⁰

Jak odczytać wartość liczby zapisanej w systemie dwójkowym?

Aby obliczyć wartość dziesiętną liczby zapisanej w systemie dwójkowym korzystamy ze wzoru na rozwinięcie, w którym podstawą systemu jest liczba 2 ( w systemie trójkowy jest 3 itd)

Liczba 101011₍₂₎=?₍₁₀₎

1⋅2⁵+0⋅2⁴+1⋅2³+0⋅2²+1⋅2¹+1⋅2⁰=2⁵+2³+2¹+2⁰=32+8+2+1=43

Ciąg bitów

Ciąg bitów jako impulsy prądu mogą być binarnym rozwinięciem liczby

Najbardziej znaczący bit stoi z lewej strony, a najmniej znaczący z prawej strony rozwinięcia. Możemy zadać pytanie: Jaka jest wartość ciągu bitów przedstawionych na drugim wykresie?

011010₍₂₎=?₍₁₀₎

0⋅2⁵+1⋅2⁴+1⋅2³+0⋅2²+1⋅2¹+0⋅2⁰=2⁴+2³+2¹=16+8+2=26

System szesnastkowy

System szesnastkowy oprócz cyfr zawiera symbole pierwszych sześciu wielkich liter alfabetu, czyli A, B, C, D, E i F. Symbole te odpowiednio odpowiadają wartościom 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Przykładowo liczba szesnastkowa 4AD₍₁₆₎ w systemie dziesiętnym odpowiada wartości:

4AD=4⋅16²+A⋅16¹+D⋅16⁰=4⋅16²+10⋅16¹+13⋅16⁰=4⋅256+10⋅16+13⋅1=1197₍₁₀₎

Schemat Hornera- zamiana z dowolnego systemu na dziesiętny

Liczba z dowolnego systemu pozycyjnego spełnia warunek wielomianu

gdzie:

a, to liczba z pozycji (n-1)
p, to podstawa systemu

Możemy skorzystać ze schematu Hornera do obliczenia jej wartości w systemie dziesiętnym. Czyli sprowadzić liczbę z dowolnego systemu pozycyjnego do systemu dziesiętnego

Przykładowy program, który to realizuje napisany w Visual Studio C#

Proponowany kod funkcji zamieniającej liczbę z dowolnego systemu na dziesiętny wykorzystuje funkcję zamieniajacą wasrtość symbolu lietrowego na wartość liczbową. Na przykład A to 10... F to 16.

Poniżej kod funkcji ustalającej wartość symbolu A, B ... F

Wskazówka:


private byte Wartosc(Char znak)
{
	byte a = 0;
	switch (znak)
	{
		case 'A': a = 10; break;
		case 'B': a = 11; break;
		case 'C': a = 12; break;
		case 'D': a = 13; break;
		case 'E': a = 14; break;
		case 'F': a = 15; break;
		default: a = Convert.ToByte(znak - '0'); break;
	}
	return a;
}

Kod funkcji zamieniającej liczbę z dowolnego systemu na dziesiętny wykorzystujacy schemat Hornera

Wskazówka:


//s- to łańcuch znaków podanej liczby
//p- podstawa systemu
private long DowolnyNaDziesietny(String s, byte p)
{
	long wynik = 0;
	int i = 0;
	while (i < s.Length - 1)
	{
		wynik = (wynik + Wartosc(s[i])) * p;
		i++;
	}
	wynik += Wartosc(s[i]);
	return wynik;
}

Poniżej pełny kod źródłowy klasy Form głównej formatki aplikacji

Form1.cs


using System;
using System.Collections.Generic;
using System.ComponentModel;
using System.Data;
using System.Drawing;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
using System.Windows.Forms;

namespace _1AlgPozycyjneReprezentacjeliczb
{
    public partial class Form1 : Form
    {
        public Form1()
        {
            InitializeComponent();
        }



        private byte Wartosc(Char znak)
        {
            byte a = 0;
            switch (znak)
            {
                case 'A': a = 10; break;
                case 'B': a = 11; break;
                case 'C': a = 12; break;
                case 'D': a = 13; break;
                case 'E': a = 14; break;
                case 'F': a = 15; break;
                default: a = Convert.ToByte(znak - '0'); break;
            }
            return a;
        }
        //s- to łańcuch znaków podanej liczby
        //p- podstawa systemu
        private long DowolnyNaDziesietny(String s, byte p)
        {
            long wynik = 0;
            int i = 0;
            while (i < s.Length - 1)
            {
                wynik = (wynik + Wartosc(s[i])) * p;
                i++;
            }
            wynik += Wartosc(s[i]);
            return wynik;
        }

        private void Form1_Load(object sender, EventArgs e)
        {
            //ustaw pierwszy indeks w combobox na aktywny
            comboBox1.SelectedIndex = 0;
            comboBox2.SelectedIndex = 0;
        }

        private void textBox1_KeyPress(object sender, KeyPressEventArgs e)
        {
            //zabezpiecz przed znakami nienumerycznymi
            if (e.KeyChar == 8) return;//wyskocz jak BackSpace
            if (e.KeyChar < '0' || e.KeyChar > '9') e.Handled = true;
        }



        private void button3_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            //zamień z dwolonego na dziesietny
            if (textBox2.Text.Length < 1)
            {
                MessageBox.Show("Nie podano liczby!", 
                                "Komunikat",
                                MessageBoxButtons.OK,
                                MessageBoxIcon.Warning);
                return;
            }
            byte p = Convert.ToByte(comboBox2.Text);
            label4.Text = DowolnyNaDziesietny(textBox2.Text, p).ToString();
        }
    }
}

Kod programu w C#

Zwróć uwagę, że metody opisujące funkcje są zdefiniowane jako statyczne (patrz słowo kluczowe static). Podstawa systemu jest zapisywana w zmiennej lokalnej o nazwie p, zdefiniowanej jako typ byte. Wartość podawanej liczby zapisana jest w zmiennej lokalnej o nazwie sLiczba, zdefiniowanej jako typ String

Wskazówka:


using System;
using System.Reflection.PortableExecutable;

namespace MyApp // Note: actual namespace depends on the project name.
{
    internal class Program
    {
        static byte Wartosc(Char znak)
        {
            byte a = 0;
            switch (znak)
            {
                case 'A':a=10; break;
                case 'B': a = 11; break;
                case 'C': a = 12; break;
                case 'D': a = 13; break;
                case 'E': a = 14; break;
                case 'F': a = 15; break;
                //dla pozostałych znaków zwróć różnice z kodu ASCII
                //'0' to pozycja 48, czyli znak '2'-'0' odpowiada
                //50-48=2, co zapewnia uniwersalność konwersji znaków
                default: a=Convert.ToByte(znak-'0'); break;
            }
            return a;
        }

        static long DowolnyNaDziesietny(String s, byte p)
        {
            //s to podana liczba jako łańcuch znaków
            //p to podstawa systemu
            long wynik = 0;
            int  i=0;
            while (i < s.Length-1)
            {
                wynik = (wynik + Wartosc(s[i])) * p;
                i++;
            }
            wynik += Wartosc(s[i]);
            return wynik;
        }

        static void Main(string[] args)
        {
            Console.WriteLine("Witaj w CzD!");
            Console.WriteLine("Zamiana liczby z dowolnego systemu na dziesiętny");
            Console.WriteLine("Podaj podstawę systemu (2<=p<=16)");
            byte p=Convert.ToByte(Console.ReadLine());
            Console.WriteLine("Podaj liczbę z wybranego systemu");
            String sLiczba=Console.ReadLine();
            Console.WriteLine("Wartość liczby po zamianie na system dziesiętny:");
            Console.WriteLine(DowolnyNaDziesietny(sLiczba, p));
        }
    }
}

Wynik działania programu

zamian z dowolnego sytemu na dziesietny c# konsola

Kod programu w C++

Ten sam program napisany pod konsolę w C++ nieznacznie się różni. Pierwsze zauważalne różnice dotyczą użytych bibliotek i przestrzeń nazw modułu std

Wskazówka:


#include <iostream>
#include <string.h>

using namespace std;

Pozostałe główne różnice to zmiana typu z byte na int dla funkcji Wartosc (patrz kod programu)

Wskazówka:


#include <iostream>
#include <string.h>

using namespace std;

int Wartosc(char znak) {
    int a = 0;
    switch (znak)
       {
        case 'A':a = 10; break;
        case 'B': a = 11; break;
        case 'C': a = 12; break;
        case 'D': a = 13; break;
        case 'E': a = 14; break;
        case 'F': a = 15; break;
            //dla pozostałych znaków zwróć różnice z kodu ASCII
            //'0' to pozycja 48, czyli znak '2'-'0' odpowiada
            //50-48=2, co zapewnia uniwersalność konwersji znaków
        default: a = (int)(znak - '0'); break;
        }
    return a;
}
long DowolnyNaDziesietny(string s, int p)
{
    //s to podana liczba jako łańcuch znaków
    //p to podstawa systemu
    long wynik = 0;
    int  i = 0;
    while (i < s.length() - 1)
    {
        wynik = (wynik + Wartosc(s[i])) * p;
        i++;
    }
    wynik += Wartosc(s[i]);
    return wynik;
}

int main()
{
    cout << "Witaj w CzD!\n";
    cout << "Zamiana liczby z dowolnego systemu na dziesietny\n";
    cout << "Podaj podstawe systemu (2<=p<=16)\n";
    int p;
    cin >> p;
    cout << "Podaj liczbe \n";
    string sLiczba = "";
    cin >> sLiczba;
    cout<<"Wartosc liczby po zamianie na system dziesietny:\n";
    cout << DowolnyNaDziesietny(sLiczba, p);
    return 0;
}

Wynik działania programu

zamian z dowolnego sytemu na dziesietny c++

Przedstawione trzy rozwiązania tego samego problemu nieznacznie się różnią. Różnice wynikają z właściwości metod użytych języków. Ciało algorytmu zamieniającego dowolną liczbę z dowolnego sytemu liczbowego na system dziesiętny pozostało bez zmian.